サブクラス化するのがいいでしょう。
(SubclassDlgItem)

>デバッグでIDC_BUTTON1の上でマウスの左ボタンを押しても
>ButtonEx.cppの中のブレークポイントの位置に入ってきません。

ブレークポイントの位置がどこなのかは、判りませんが・・

同様の手順で行ったところ問題なくOnLButtonDownに入ってきますが・・

>サブクラス化するのがいいでしょう。
>(SubclassDlgItem)

しなくても、サブクラス化されているのでわ？

ゴミです。m(__)m

試してみたら一応、それらしく動きましたけど。

TIMER_5000MS　はいくつですか？

まずOnLButtonDown()が呼ばれてますね？
次に
>SetTimer(TIMER_ID, TIMER_5000MS, NULL);
インターバルが5000m秒だと５秒間帰ってきません。マウスクリックに反応させるならば、
せめて50m秒ぐらいにしないと。
もしくは、もしタイマーイベントの１回目を0m秒とするなら
OnLButtonDown()の中でで自分自身にタイマーメッセージをPostすればいいと思います。

this->PostMessage(WM_TIMER, TIMER_ID ); //this->は無くても可

蛇足ながらこのプログラムではマウスボタンがDOWN-UPの間にマウスのポイントが
ボタンを外れるとKillTimerできません。
CButtonの子クラスのハンドラを使用するならばSubclassWindowする必要はないと
思われます。

不良PGさん、Bunさん、ワルツさん
私が馬鹿でした。

CSampleDlgのcppにWM_LBUTTON_DOWNとWM_LBUTTON_UP
メッセージを残したままだったのが悪かったみたいです。
メッセージの衝突かな??
とにかく削ることで正常に処理が行なわれました。
サブクラス化とは、別のクラスから継承で作った
クラスのことですよね？

感謝致します。

>サブクラス化とは、別のクラスから継承で作った
>クラスのことですよね？
違います。

CWnd::SubclassDlgItem
CWnd::SubclassWindow
を見て下さい

手順の中の

>3.【クラスウイザード】→　【メンバ変数】で、IDC_BUTTON1のメンバ変数を
>　追加しました。これを、m_buttonとしました。
>　このとき、変数のタイプを2.で作成したクラスを選択

が、サブクラス化をしたことと同じことになります。
（実際は、フレームワークがCWnd::SubclassWindow[CWnd::SubclassDlgItem]と同様の操作
をしています）

ついでに・・、
通常は、問題ないと思いますが・・
厳密には、タイマーＩＤは、このように使いましょう

class CButtonEx : public CButton
{
UINT m_uTimerID;

}

void CButtonEx::OnTimer(UINT nIDEvent)
{
if( m_uTimerID == nIDEvent )
{
a++;
}

CButton::OnTimer(nIDEvent);
}

void CButtonEx::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point)
{
m_uTimerID = SetTimer(TIMER_ID, TIMER_5000MS, NULL);

CButton::OnLButtonDown(nFlags, point);
}

void CButtonEx::OnLButtonUp(UINT nFlags, CPoint point)
{
KillTimer(m_uTimerID);

CButton::OnLButtonUp(nFlags, point);
}

>SetTimer(TIMER_ID, TIMER_5000MS, NULL);
>インターバルが5000m秒だと５秒間帰ってきません。
>マウスクリックに反応させるならば、
>せめて50m秒ぐらいにしないと。
>もしくは、もしタイマーイベントの１回目を0m秒とするなら
>OnLButtonDown()の中でで自分自身にタイマーメッセージを
>Postすればいいと思います。
> this->PostMessage(WM_TIMER, TIMER_ID ); //this->は無くても可

有難うございます。秒数など
仕様がはっきりしたら
いろいろと試して行きたいと
思います。

>蛇足ながらこのプログラムではマウスボタンがDOWN-UPの間にマウスのポイントが
>ボタンを外れるとKillTimerできません。

試してみました。
ですが、DOWN-UPの間にボタンを外れるどころか
ダイアログを外れてもUPした時、
OnLButtonUp関数に飛びました。
??
必要だと思われる
SetCapture　
ReleaseCapture
もないのに一体・・。

不良PGさん

要するに
ダイアログのパーツ（コントロール）
を他のクラスに対応付けることを
サブクラス化というのですね。
でｍその対応付けたクラスをサブクラスであるのですね。

心より感謝致します。