こんにちは。わたしもそれほど詳しくないので、何か間違ってることがあったら済みません

*a[5] = {I am a cat.,
hallo !!, // hello ?
This is a pen.,
Who are you?.,
Here I am.
};

のところですが、配列で{a,b,c,d,…}のように代入することが出来るのは
配列変数の宣言と同時に、配列に値を格納させるときだけです。つまり、

char *a[5] = {I am a cat.,
hallo !!,
This is a pen.,
Who are you?.,
Here I am.
};

は、できますが

char *a[5];
*a[5] = {I am a cat.,
hallo !!,
This is a pen.,
Who are you?.,
Here I am.
};

は、エラーです。

以下修正したコード

class hairetu
{
char *a[5];
public:
/*void*/ hairetu(); //コンストラクタに戻り値を指定することは出来ない
void txtout(int);
}; // ;が抜けてます

/*void*/ hairetu::hairetu()
{
/* // エラー
*a[5] = {I am a cat.,
hallo !!,
This is a pen.,
Who are you?.,
Here I am.
};*/

a[0] = I am a cat.;
a[1] = hallo !!;
a[2] = This is a pen.;
a[3] = Who are you?;
a[4] = Here I am.;
}

void hairetu::txtout(int n) // void が抜けてます
{
if(n < 0||4 < n){
cout << 入力が間違っています。;
return;
}else
cout << a[n];
}

main()
{
hairetu arg;
int i;

cout << ０～４の数字を入力してください。 << endl;
cin >> i;
arg.txtout(i);
return 0;
}

最初に、#include <iostream.h>はしてますよね？

失礼しました。<mOm>
原因は文字列の配列をメンバにしたからではありませんでした。
コンストラクタにvoidと型指定をしていたのは私の記入ミスで、
問題はこのミスでもありません。
クラスを宣言した部分の末尾に；が抜けていたためでした。
あまりにも初歩すぎるミスに貴重なスペースを割かせていただいたのは
大変に申し訳ないこととお詫びいたします。

ふたたび書き入れます。
配列に値を入れるやり方がまずいことを指摘してくださり
ララバイさんどうもありがとうございました。
まずいことは薄々気づいていたのですが、指摘により
はっきりと認識することができました。
もう二度と、こんな些細なミスで人を巻き込むことがないよう気をつけます。
繰り返し申し上げます。
ララバイさん、ご指摘ありがとうございました。