#include <iostream>
#include <algorithm>

int main() {
const int N = 6;
char str[N] = {'0','1','\0','2','3','\0'};
char* pos = std::find(str, str+N, '\0'); // '\0'を見つけて
std::copy(++pos, str+N, str); // その次から末端までを先頭にコピー
std::cout << '[' << str << ']' << std::endl;
return 0;
}

C++を使わないなら、memcpyを使って下のように。
（コピー先とコピー元の領域が重なることがあるなら
　memcpyをmemmoveに置き換えてください）

//-----
#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main(void)
{
int i;
char str[6] = {'0','1','\0','2','3','\0'};

// ナル文字の位置を探る
for (i = 0; i < 6; i++) {
if (str[i] == '\0') break;
}
i++;

// ナル文字以降の文字列をずらす。
memcpy(str, str+i, (6-i)*sizeof(char));

// 確認
for (i = 0; i < 6; i++) {
printf([%d] %c\n, i, str[i]);
}

return 0;
}

επιστημηさま　reshiaさま　

すぐにそういうコードが書けて、うらやましい限りです。
おかげさまで、実装できました。
どうもありがとうございました！

解決済みのチェックを忘れていました・・