とりあえず、タイマーでスクロールさせるソースです。
ご参考までに。

Private Sub Command1_Click()
Timer1.Interval = 1000
Timer1.Enabled = True
End Sub

Private Sub Timer1_Timer()
Dim s As String
s = Text1.Text
If s = " Then
Timer1.Enabled = False
Exit Sub
End If
s = Right(s, Len(s) - 1)
Text1.Text = s
End Sub

ありがとうございます。早速試してみました。しかし、テキストボックスが右揃えのせいか、先
頭の文字から消えていくだけのようです。そしてボタンを押さない限りスクロールしつづけたい
ので、もう一度教えてください。

自分でも考えて下さいね。

Private Sub Command1_Click()
Timer1.Interval = 100
Timer1.Enabled = Not (Timer1.Enabled)
End Sub

Private Sub Form_Load()
Text1.Text = + Text1.Text
Timer1.Enabled = False
End Sub

Private Sub Timer1_Timer()

Dim s, s2 As String

s = Text1.Text

If s = " Then
Timer1.Enabled = False
Exit Sub
End If

s2 = Left(s, 1)
s = Right(s, Len(s) - 1) + s2

Text1.Text = s

End Sub

テキストボックスの大きさに合わせてスクロールさせることはできないのでしょうか？

できます。

仕事が一段落したので現実逃避を。

テキストボックスに入る文字数を把握しておけば、
スペースの個数を調節することで御要望に近いものができます。

どんな文字列、フォント、テキストボックスのサイズにも対応しようとすると、
ＶＢの機能のみでのやり方を私は知りません。多分ないと思います。

テキストボックスのサイズや、あるフォントである文字列を表示した時のサイズなどは、
APIという関数群を使うと自由に取得できますが、ＶＢに比べて大分難しいです。