確認したいこと
１．押された状態のビットマップは用意してありますか？
２．用意してあるなら、それらをCBitmapButtonにちゃんと読み込ませてますか？

以下は私の想像にすぎません。

標準のメッセージバックスも凹にならずに即閉じちゃうね。
たぶん難しいよ。

WM_KEYDOWN-VK_RETURN発生
ボタンを凹にする（ボタンを再描画させる必要あるかな？）
少し待つ
ボタンを凸にする
BM_CLICKを発生させる

ということになるのかな？
少し待つってあたりが微妙に難しそうだ

あるいは

WM_KEYDOWN-VK_RETURN発生
ボタンを凹にする

WM_KEYUP-VK_RETURN発生
ボタンを凸にする
BM_CLICKを発生させる

WM_KEYUP-VK_RETURN発生しないまま他のアプリにフォーカスが移ってしまったら？
WM_KEYUP-VK_RETURN発生しないままマウスで別のボタンをクリックしたら？

ボタンを凹にするのは、CButton::SetStateだったきがする。

Spaceキーだと押したとき凹み、放したときイベントが発生しますね。
EnterをSpaceに置き換えてみては？

BOOL CXXXX::PreTranslateMessage(MSG* pMsg)
{
if (Enterキー) {
if (押した) {
SendMessage(Spaceキーを押したときのパラメータ);
} else {
SendMessage(Spaceキーを放したときのパラメータ);
}
return TRUE;
}
後略

ryoさん、超初心者さん、dairygoodsさん回答ありがとうございます
返事が遅くなって申し訳ありません。

ryoさんへ
> 確認したいこと
> １．押された状態のビットマップは用意してありますか？
　用意してあります。
> ２．用意してあるなら、それらをCBitmapButtonにちゃんと読み込ませてますか？
　マウスでクリックしたときは凹凸表示できていますので
　ちゃんと読み込めていると思います。

超初心者さんへ
メッセージバックスの意味が分かりませんでした。
ここで言う「ボタンを凹にする」とか「ボタンを凸にする」というのは
ボタンのフォーカスを持っている状態のBitmap画像を切り替えるという
ことでしょうか？

dairygoodsさんへ
これで上手くいきそうです。
前にSpaceキーへの置き換えは上手くいったのは試していたのですが、
テキストボックス（CEdit）にフォーカスがあるときスペースが入力されてしまい
この方法はダメだと思い込んでいましたが、
　　if( (CWnd::FromHandle(pMsg->hwnd))->IsKindOf( RUNTIME_CLASS(
CBitmapButton ) ) ){
これも使えばよかったんですね。すっかり忘れていました。

すいません間違えていました

if( (CWnd::FromHandle(pMsg->hwnd))->IsKindOf( RUNTIME_CLASS(
CBitmapButton ) ) ){
これはCBitmapButtonを派生させたクラスを使用している
クラスで判定しているときに使ってました。

実際の処理としては以下のようにすることでEnterキーの押下時に
マウスクリックと同じ動きを実現できるようになりました。
「pMsg->wParam == VK_RETURN」この状態のときにKEYDOWNとUP以外に
メッセージが来るか分からなかったので各if文にreturnを移動しました。

BOOL CXXXX::PreTranslateMessage(MSG* pMsg)
{
if(pMsg->wParam == VK_RETURN) {
if(pMsg->message == WM_KEYDOWN){
SendMessage(WM_KEYDOWN,VK_SPACE,0);
return TRUE;
}else
if(pMsg->message == WM_KEYUP){
SendMessage(WM_KEYUP,VK_SPACE,0);
return TRUE;
}
}
return CBitmapButton::PreTranslateMessage(pMsg);
}

他にも教えていただいた「SendMessage(BM_SETSTATE,TRUE,0);」とかを
使った方法も以下のように試したのですが、Enterキーを押しっぱなしの状態で
キーボードの矢印キーなどで別のCBitmapButtonフォーカスを移動してEnterキーを
離すとなぜか最初にフォーカスを持っていたCBitmapButtonとフォーカス移動後の
CBitmapButtonの二つでクリックイベントが発生してしまったので、上記の
教えていただいたSpaceに置き換える方法を使うことにしました。

BOOL CXXXX::PreTranslateMessage(MSG* pMsg)
{
if(pMsg->wParam == VK_RETURN) {
if(pMsg->message == WM_KEYDOWN){
SendMessage(BM_SETSTATE,TRUE,0);
return TRUE;
}else
if(pMsg->message == WM_KEYUP){
SendMessage(BM_CLICK);
return TRUE;
}
}
return CBitmapButton::PreTranslateMessage(pMsg);
}

解決できたのでチェックマークつけさせてもらいます。
私のやり方で間違っている箇所があったらご指摘ください。
ありがとうございました。